calculoTIC33jenifer: noviembre 2010

maximo y minimo

Crecimiento y decrecimiento.

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:

? Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva ? Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. Es decir,

Si Si

Como Þ ,es decir, la función es creciente en

En este caso Þ , es decir, la función es decreciente en

x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.

Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 1.

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

Hallamos la derivada: La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:

Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos

, y

Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, , es decir, positiva Para x = 2, , es decir, negativa Para x = 4, , positiva

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función Þ à Þ

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.

? Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto , entonces

En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente

Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal ? Si y existe la segunda derivada, se verifica:

Si , hay un mínimo relativo en el punto c

Si , hay un máximo en dicho punto.

Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si la función es creciente en c luego

Y como , , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.

Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios:

Criterio de la primera derivada:

• Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente. • Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.

Criterio de la segunda derivada: • Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. • Hallamos la segunda derivada. • Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada. • Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.

Ejemplo 2.

Halla los máximos y mínimos de la función Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación :

Þ Þ

2ª derivada:

Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:

Þ $ mínimo para x = - 1

Þ $ máximo para x = 1

Concavidad y convexidad.

Los conceptos con convexidad y concavidad son relativos. Adoptaremos el siguiente criterio: La función es convexa en un intervalo si la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en un punto cualquiera del intervalo. La función es cóncava cuando la gráfica queda por debajo.

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa.

? Una función derivable es convexa en un intervalo (a, b), si ? Una función derivable es cóncava en un intervalo (a, b), si

Estudiar la curvatura de una función consiste en hallar los intervalos en los que es cóncava y convexa. Se procede de la siguiente forma: • Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante. • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 2. Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función

Primera derivada: Segunda derivada:

Þ Þ

Dividiendo el dominio R por los puntos –1 y 1 se obtienen los siguientes intervalos:

Estudiamos el signo de la segunda derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = −2 , función convexa. Para x = 0, , función cóncava Para x = 2, , función convexa

La curvatura queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, −1) (−1, 1) (1, +∞) Signo de la 2ª derivada + - + Función È Ç È Existen puntos de inflexión para x = −1 y para x = 1

Resolución de problemas de optimización.

Son problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo, en una producción obtener los mayores beneficios con los mínimos gastos. Con los datos del problema hay que construir una función que se ha de maximizar o minimizar dentro de las condiciones exigidas.

Ejemplo 3.

De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

Volumen de la caja =

(Función a maximizar)

;

Þ ;

(mínimo, no se forma caja)

(máximo). La solución es

Ejemplo 4

Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de el área encerrada sea máxima.

Perímetro = x + 2y = 1000 Þ x = 1000 – 2y Área = x . y, es decir,

(Función a maximizar )

;

Þ y = 250

Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo.

Las dimensiones serán: 500 metros de largo y 250 de ancho.

punto de inflexion

7) Puntos de inflexión.

Un punto se llama de inflexión si en él la función cambia el sentido de la concavidad, por tanto en los puntos de inflexión la segunda derivada tiene que cambiar de signo y por tanto en él la segunda derivada tiene que ser cero.

Para determinar los puntos de inflexión hay dos métodos:

A) Se determinan los intervalos de concavidad, si en uno de esos intervalos la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo y en el siguiente cambia el sentido de la concavidad, siendo el extremo del intervalo un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tendremos un punto de inflexión.

Si nos fijamos en el ejemplo que aparece en la determinación de los intervalos de concavidad se tiene que en (a,f(a)) y en (d,f(d)) hay puntos de inflexión.

B) Teorema 7.-

Sea a un punto del dominio de definición tal que f''(a)=0 y que f'''(a)…0, entonces la función tiene en (a,f(a)) un punto de inflexión.

Dem.

Si f'''(a)<0, tiene que existir un intervalo centrado en a en el que x (a-x ,a+x ) se verifique que f'''(x)<0, por tanto en ese intervalo, aplicando el teorema 2 se tiene que f'' es decreciente. Como f''(a)=0 entonces x (a-x ,a) f''(x)>0 (puesto que x<a) y por tanto f es cóncava hacia arriba; si x (a,a+x ) se tiene que x>a y como f''(a)=0 y f'' decreciente entonces f''(x)<0 y por tanto f es cóncava hacia abajo. Uniendo los dos resultados anteriores se tiene que f cambia en a de concavidad y por tanto tiene en a un punto de inflexión.

El caso f'''(a)>0 se demuestra de forma análoga (hacerlo como ejercicio). c.q.d.

Por tanto para determinar si uno de los ceros de la segunda derivada es un punto de inflexión se calcula la tercera derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado es distinto de cero se tiene un punto de inflexión. Si el resultado sale cero tenemos que calcular la cuarta derivada, si al evaluar en ese punto el resultado es distinto de cero no es un punto de inflexión (es un máximo o un mínimo) si sale cero tenemos que calcular la siguiente derivada y reiterar el proceso y así sucesivamente.

Derivadas

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Ejemplo: cálculo de derivadas

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

Resolución:

· La función sen x²es una función compuesta de otras dos f(x) = x² y g(x) = sen x.

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x²

· Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x²

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = a^u y para otra g(x) = e^u,

f'(x) = (a^u)' = u' · a^u · ln a

g'(x) = (e^u)' = u' · e^u

Ejercicio: cálculo de derivadas

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Calcular la derivada de f(x) = 4^{x sen x}

Resolución:

· Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x

f'(x) = (4^{x sen x})' = (sen x + x cos x) · 4^{x sen x} · ln 4

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entrex yy por medio de una ecuación no resuelta paray, entoncesy se llama función implícita dex.

Por ejemplo:

−

define ay como una función implícita dex. Es claro que por medio

Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la

ecuación término a término, considerandoy como función dex, y de la

ecuación resultante despejardx

dy, o lo que es lo mismo despejary ’.

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿cuáles deben ser las dimensiones óptimas para que el costo del material empleado en una lata de cerveza, Coca-Cola o atú´sea mínima?

Conclusiones

Con la maya se quiere que estemos al corriente de algunos temas como es las derivadas y ser para los estudiantes una guía para un mejor aprendizaje

Con esta malla y todos los módulos nos podremos vasar para dar soluciones algunos problemas que se nos presenta cada día.

Crecimiento y decrecimiento.

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:

? Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva ? Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. Es decir,

Si Si

Como Þ ,es decir, la función es creciente en

En este caso Þ , es decir, la función es decreciente en

x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.

Se procede de la siguiente forma:

Ejemplo 1.

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

Hallamos la derivada: La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:

Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos

, y

Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, , es decir, positiva Para x = 2, , es decir, negativa Para x = 4, , positiva

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función Þ à Þ

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.

? Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto , entonces

En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente

Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal ? Si y existe la segunda derivada, se verifica:

Si , hay un mínimo relativo en el punto c

Si , hay un máximo en dicho punto.

Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si la función es creciente en c luego

Y como , , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.

Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios:

Criterio de la primera derivada:

Ejemplo 2.

Halla los máximos y mínimos de la función Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación :

Þ Þ

2ª derivada:

Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:

Þ $ mínimo para x = - 1

Þ $ máximo para x = 1

Concavidad y convexidad.

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa.

? Una función derivable es convexa en un intervalo (a, b), si ? Una función derivable es cóncava en un intervalo (a, b), si

Ejemplo 2. Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función

Primera derivada: Segunda derivada:

Þ Þ

Dividiendo el dominio R por los puntos –1 y 1 se obtienen los siguientes intervalos:

Estudiamos el signo de la segunda derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = −2 , función convexa. Para x = 0, , función cóncava Para x = 2, , función convexa

La curvatura queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, −1) (−1, 1) (1, +∞) Signo de la 2ª derivada + - + Función È Ç È Existen puntos de inflexión para x = −1 y para x = 1

Resolución de problemas de optimización.

Ejemplo 3.

Volumen de la caja =

(Función a maximizar)

;

Þ ;

(mínimo, no se forma caja)

(máximo). La solución es

Ejemplo 4

Perímetro = x + 2y = 1000 Þ x = 1000 – 2y Área = x . y, es decir,

(Función a maximizar )

;

Þ y = 250

Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo.

Las dimensiones serán: 500 metros de largo y 250 de ancho.

Criterio de la segunda derivada

Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es cóncava hacia abajo cuando la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b)

Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c y además:

a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

a).- Si f´(a)=0 y f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0 y f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a<c<b tales que

1.- f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

domingo, 7 de noviembre de 2010

punto de inflexion

Derivadas